上海嘉定六年级期末考试统考试卷

整套试卷见文末

第 27 题

第 27 题答案与简要解题过程

（1）

（2）

数组 (5,10,20,y) 要和谐，必须使 5 与 20 和谐：

5+20=25 或 |20−5|=15 中至少一个在数组内 ⇒ y=25 或 y=15。

检验发现 y=25 时，10 与 25 不和谐（和 35、差 15 均不在数组），而 y=15 满足所有对的条件。

∴ y=15

（3）

由(2)发现和谐数组可构造为 {a, 2a, 3a, 4a} 形式。

取 a=1013（使 2026=2a）得数组 {1013, 2026, 3039, 4052}，经验证任意两数差 a, 2a, 3a 均在集合内，满足条件。

取 a=2026 得 {2026, 4052, 6078, 8104} ，经验证任意两数差 a, 2a, 3a 均在集合内，也满足条件。

∴ 数组 {1013, 2026, 3039, 4052}， {2026, 4052, 6078, 8104}

扩展

和谐数组通式：

Sn=a×{1,2,3,…,n},a∈Z+ n≧2

首项 a乘上从 1 到 n的自然数列.
∣ia−ja∣=∣i−j∣a∈Sn,1≦∣i−j∣≦n−1

三元组时, ∀a,b∈S,且a≠b ，a,b∈Z+，为数组 {a,b,(a+b)} 已排序

另外可能存在其他解

复盘四元和谐数组思路：

起初我也考虑过这个互异正整数四元和谐数组而非a(1,2,3,4)形式 ,
通过小规模搜索（穷举法思路），已知四元和谐数组（不同正整数，最小数尽量小）
例如： {1, 3, 4, 7} {1, 2, 4, 6} ，不通。

后来根据出题人意图发现由(2)发现和谐数组，可得出构造为a{1,2,3,4}形式也就是 {a, 2a, 3a, 4a} 形式 .

Sn=a×{1,2,3,…,n},a∈Z+ 自然数列的整数倍.

许文语同学做梦想了一晚上没有太多思路，今天早上我一说这个自然序列满足但不确定其他的解，她听懂了。👍

马菲菲同学说有无数组解，可能受到（1）的结论影响数组 {a,b,(a+b)} 已排序，认为第四个数c可能很多个。不错👍

但是 c-(a+b)=a或 b,c-b=a 得出结论 b=2a,c=4a 一个解才能满足，其他均不合适. 即 {a, 2a, 3a, 4a}

上面给出的通式 Sn={a,2a,3a,…,na}只是充分条件，并不是唯一可能的和谐数组。

例如：

四元和谐数组 {a, 2a, 3a, 5a} 不行（前面检验过 a 和 5a 不和谐）。
但 {a, 2a, 3a, 4a, 6a} 呢？差可能不都在集合里：差 5a 不在，和可能补足，但需要详细验证。实际上和谐数组并不要求 所有差 都在集合中，只要求任意两数至少一个（和或差）在集合中。所以可以通过“和一些在、差一些在”混合构造非等差数列。

例：四个数 {3,5,8,13}

3+5=8（在）
5+8=13（在）
8+5=13（在）
13−8=5（在）需要逐一验证所有 6 对，但有可能成立。事实上这个例子是广义 Fibonacci 型：3,5,8,13 每项是前两项和，则任意两数和可能是后一项或后几项，不一定都在集合里，要检验。检查 3 和 13：和 16 不在，差 10 不在 → 不成立，所以这个反例不和谐。

为了不限于 a,2a,3a,…,na，可以让集合同时包含一些“和封闭”与“差封闭”的数。

例（三个数时）：{1,2,3}

1+2=3 ✓
差也都存在（1,2 差 1 不在？2−1=1 不在集合{1,2,3}？等等，1 在集合里，对！）
1+3=4 不在，但 |3−1|=2 在 ✓
2+3=5 不在，但 |3−2|=1 在 ✓ 所以三个数 {1,2,3} 是和谐数组，它不是 a,2a,3a 结构（因为 a=1,2a=2,3a=3，巧合时 a=1 成立，其实也符合通式）。

对于更多元的情况，可以构造类似 sum-closed 部分和差-closed 部分 的组合，但要完全验证。

三元和谐数组只有一种形式（排序后）：a,2a,3a（及倍数放缩）。
四元除了 a,2a,3a,4a，还有可能构造如 {a, b, a+b, a+2b} 等形式，但需要满足复杂交叉条件。经检验，四元排序后仍然是 a,2a,3a,4a（允许 a 不同取值）是最简单的无穷族，是否有其他无限族未知，但可能有孤立特例（需用计算机搜索）。
n 元时，显然 a,2a,…,na 是通解，但可能存在其他解。

因为和谐数组定义较松（和或差至少一个在集合中），所以可能有更多特殊解，尤其是较小规模时。